Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$

Passaggio 1

Dividi per $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})}$ come ${(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.1.4

Converti da $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ a $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.1.5

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (V) + V$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \csc^{2} (V) + V$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + V - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $\csc^{2} (V) + V - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + 0$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Somma $\csc^{2} (V)$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\csc^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc^{2} (V)} \cdot \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Combina.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Passaggio 6.1.3.2

Elimina il fattore comune di $\csc^{2} (V)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Passaggio 6.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)}$ come ${(\frac{1}{\csc (V)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\csc (V)})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.3

Riscrivi $\csc (V)$ in termini di seno e coseno.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int {(1 \sin (V))}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.5

Moltiplica $\sin (V)$ per $1$ .

$\int \sin^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (V)$ come $\frac{1 - \cos (2 V)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 V)}{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $V$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $V$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

Sia $u = 2 V$ . Allora $d u = 2 d V$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.7.1

Sia $u = 2 V$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.7.1.1

Differenzia $2 V$ .

$\frac{d}{d V} [2 V]$

Passaggio 6.2.2.7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $2 V$ rispetto a $V$ è $2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V]$

Passaggio 6.2.2.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.2.2.7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2.2.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.8

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.10

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.11

Semplifica.

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 V$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (2 V)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.13.1

$\sin (2 V)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} V + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.13.3

$\frac{1}{2}$ e $V$ .

$\frac{V}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.13.4

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.13.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 V)}{2}$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.13.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.14

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 8

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 8.1.2

$2$ e $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (\frac{2 y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 8.1.3

$\sin (\frac{2 y}{x})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{\sin (\frac{2 y}{x})}{4} = \ln (| x |) + C$