Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$

Passaggio 1

Dividi $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ e semplifica.

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Passaggio 1.1

Dividi la frazione $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\sec (\frac{y}{x})$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (V) + V$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \sec (V) + V$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

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Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + V - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $\sec (V) + V - V$ .

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Passaggio 6.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + 0$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Somma $\sec (V)$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sec (V)}$ .

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune di $\sec (V)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

Passaggio 6.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sec (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sec (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.1

Semplifica.

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Passaggio 6.2.2.1.1

Riscrivi $\sec (V)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (V)}$ .

$\int 1 \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.3

Moltiplica $\cos (V)$ per $1$ .

$\int \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

L'integrale di $\cos (V)$ rispetto a $V$ è $\sin (V)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\sin (V) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Trova il valore dell'incognita $V$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$V = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$ per $y$ .

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Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.2.2.1

Riordina i fattori in $\arcsin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arcsin (\ln (| x |) + C)$