Calcolo Esempi

$x^{2} (y + 1) d y - (x + 1) (y d) x = 0$

Passaggio 1

Somma $(x + 1) y d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} (y + 1) d y = (x + 1) y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} (y)} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} (y + 1) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} ((x + 1) y) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $(x + 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $x + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.5

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.6

Semplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $(x + 1) x^{- 2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

Passaggio 4.3.8

Riordina i termini.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$