Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} + 1}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{4 x^{2} + 1}{y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{4 x^{2} + 1}{y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = (4 x^{2} + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int 4 x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 4 x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 4 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4 x^{3}}{3} + x + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{4}{3} x^{3} + x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{4}{3} x^{3} + x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{4}{3} x^{3} + x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{4}{3} x^{3} + x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{4}{3} x^{3} + x + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{4}{3} x^{3} + x + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{4}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{4 x^{3}}{3} + x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{4 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $2 \frac{4 x^{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$2$ e $\frac{4 x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 (4 x^{3})}{3} + 2 x + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y^{2} = \frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $\frac{8 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.4

Scomponi $2$ da $2 \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 x^{3}}{3} + x) + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.5

Scomponi $2$ da $2 (\frac{4 x^{3}}{3} + x) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 x^{3}}{3} + x + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 x^{3}}{3} + x \cdot \frac{3}{3} + K)}$

Passaggio 3.4.3

$x$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x \cdot 3}{3} + K)}$

Passaggio 3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 x^{3} + x \cdot 3}{3} + K)}$

Passaggio 3.4.5

Scomponi $x$ da $4 x^{3} + x \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Scomponi $x$ da $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (4 x^{2}) + x \cdot 3}{3} + K)}$

Passaggio 3.4.5.2

Scomponi $x$ da $x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (4 x^{2}) + x (3)}{3} + K)}$

Passaggio 3.4.5.3

Scomponi $x$ da $x (4 x^{2}) + x (3)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (4 x^{2} + 3)}{3} + K)}$

Passaggio 3.4.6

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (4 x^{2} + 3)}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Passaggio 3.4.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

$K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (4 x^{2} + 3)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Passaggio 3.4.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x (4 x^{2} + 3) + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x (4 x^{2}) + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.8.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.8.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x \cdot x^{2} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.8.4

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 (x^{2} x) + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.8.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.8.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{2 + 1} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.8.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3} + 3 x + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.8.5

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$

Passaggio 3.4.9

$2$ e $\frac{4 x^{3} + 3 x + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}{3}}$

Passaggio 3.4.10

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}{3}}$ come $\frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.11

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.12

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.12.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.12.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 3.4.12.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.12.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.4.12.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.12.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.12.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.12.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.12.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 3.4.12.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.4.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.13.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Passaggio 3.4.13.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + K)}}{3}$