Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d y}{d x} - y \sqrt{x} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Somma $y \sqrt{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.1.2.3

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.2.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Passaggio 2.3.1.2.3.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.3.3

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.1.2.3.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.3.5.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ come $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ come $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$