Calcolo Esempi

$4 y \frac{d y}{d x} = 9 x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$4 y d y = 9 x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 4 y d y = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int y d y = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$2 y^{2} + C_{1} = 9 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$9$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 3 x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$2 y^{2} = 3 x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{2} = 3 x^{3} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{2} = 3 x^{3} + K$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3} + K}{2}}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\sqrt{\frac{3 x^{3} + K}{2}}$ come $\frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.3.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.3.4.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(3 x^{3} + K) \cdot 2}}{2}$

Passaggio 3.3.6

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(3 x^{3} + K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$