Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi il problema come espressione matematica.

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione differenziale.

$x y' - y = 2 x^{2} y$

Passaggio 3

Trova $y'$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A x e^{x^{2}})$

Passaggio 3.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $A$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $A x e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$A (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$A (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$A (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$A (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$A (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$A (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$A (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$A (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$A (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x^{2}}$ .

$A (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $e^{x^{2}}$ per $1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

Passaggio 3.3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + A e^{x^{2}}$

Passaggio 3.3.11.2

Riordina i termini.

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$

Passaggio 3.3.11.3

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$ .

$2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Passaggio 4

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x (x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 5.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Passaggio 5.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{2 + 1} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Passaggio 5.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}} = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Passaggio 5.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}}$ .

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Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x (A e^{x^{2}})$ e $- A x e^{x^{2}}$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} A x - e^{x^{2}} A x = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $e^{x^{2}} A x$ da $e^{x^{2}} A x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + 0 = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Passaggio 5.2.3

Somma $2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ e $0$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Passaggio 5.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1

Sposta $x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x \cdot x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x^{1} x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Passaggio 5.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{1 + 2} (A e^{x^{2}})$

Passaggio 5.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori in $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ .

$2 x^{3} A e^{x^{2}} = 2 x^{3} A e^{x^{2}}$

Passaggio 6

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = A x e^{x^{2}}$ è una soluzione a $x y' - y = 2 x^{2} y$