Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - x^{2}$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = - x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = - \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$1 = - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 1$

Passaggio 4.2

Semplifica $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + K = 1$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + K = 1$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{3}$ .

$0 + K = 1$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 1$

Passaggio 5

Sostituisci $1$ a $K$ in $y = - \frac{1}{3} x^{3} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $1$ a $K$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 1$

Passaggio 5.2

$x^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{3}}{3} + 1$