Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 1 - y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} = 1 - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} = 1 - y$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- y}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- y}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- y}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $1 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 1 - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 1 - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- x^{- 1} + C_{2}$ come $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 1 - y |) = - \frac{1}{x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 1 - y |) = - \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $\ln (| 1 - y |)$ per $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (| 1 - y |) = \frac{\frac{1}{x}}{1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Dividi $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{1}{x} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{1}{x} - 1 \cdot C$

Passaggio 3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{1}{x} - C$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 - y |)} = e^{\frac{1}{x} - C}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 1 - y |) = \frac{1}{x} - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} - C} = | 1 - y |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 - y | = e^{\frac{1}{x} - C}$ .

$| 1 - y | = e^{\frac{1}{x} - C}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 - y = \pm e^{\frac{1}{x} - C}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ come $- (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} + C}) + 1$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{\frac{1}{x} + C}$ come $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x}} e^{C}) + 1$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{\frac{1}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{1}{x}}) + 1$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = - (C e^{\frac{1}{x}}) + 1$