Calcolo Esempi

$8 y \frac{d y}{d x} = 9 x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$8 y d y = 9 x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 8 y d y = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int y d y = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

$8$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$4 y^{2} + C_{1} = 9 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$9$ e $\frac{1}{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 3 x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$4 y^{2} = 3 x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y^{2} = 3 x^{3} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y^{2} = 3 x^{3} + K$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3} + K}{4}}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{3 x^{3} + K}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 x^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $3 x^{3} + K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 x^{3} + K)}{4}}$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 x^{3} + K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.3.2.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (3 x^{3} + K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 x^{3} + K)}$

Passaggio 3.3.3

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{3 x^{3} + K}$

Passaggio 3.3.4

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{3 x^{3} + K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$