Calcolo Esempi

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 2 x^{3} y = 5$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Dividi per $x^{4}$ ciascun termine in $x^{4} \frac{d y}{d x} + 2 x^{3} y = 5$ .

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $x^{3}$ da $2 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{4}} = \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{3} x} = \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{3} x} = \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{5}{x^{4}}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{5}{x^{2} x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{5}{x^{2} x^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{5}{x^{2}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \frac{5}{x^{2}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$x^{2} y = 5 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$x^{2} y = 5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} y = 5 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} y = 5 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 7.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$x^{2} y = 5 (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 7.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.4.1

Riscrivi $5 (- x^{- 1} + C)$ come $5 (- \frac{1}{x}) + C$ .

$x^{2} y = 5 (- \frac{1}{x}) + C$

Passaggio 7.4.2

Semplifica.

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Passaggio 7.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$x^{2} y = - 5 \frac{1}{x} + C$

Passaggio 7.4.2.2

$- 5$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \frac{- 5}{x} + C$

Passaggio 7.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} y = - \frac{5}{x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = - \frac{5}{x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = - \frac{5}{x} + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{5}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{5}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{5}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \frac{5}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

Moltiplica $- \frac{5}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Passaggio 8.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{5}{x}$ .

$y = - \frac{5}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.3.1.2.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 8.3.1.2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = - \frac{5}{x^{2} x^{1}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = - \frac{5}{x^{2 + 1}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$y = - \frac{5}{x^{3}} + \frac{C}{x^{2}}$