Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\tan^{2} (y)$ .

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\tan^{2} (y)$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\tan^{2} (y) d y = \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \tan^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (y)$ come $- 1 + \sec^{2} (y)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 1 d y + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$- y + C_{1} + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché la derivata di $\tan (y)$ è $\sec^{2} (y)$ , l'integrale di $\sec^{2} (y)$ è $\tan (y)$ .

$- y + C_{1} + \tan (y) + C_{2} = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- y + \tan (y) + C_{3} = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.3

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$- y + \tan (y) + C_{3} = \tan (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- y + \tan (y) = \tan (x) + K$