Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y + \sin (x)$

Passaggio 1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - y = \sin (x)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \sin (x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{- x} \sin (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{- x} \sin (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- x} y = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riordina $e^{- x}$ e $\sin (x)$ .

$e^{- x} y = \int \sin (x) e^{- x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} \cos (x) d x$

Passaggio 7.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - - \int e^{- x} \cos (x) d x$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} \cos (x) d x$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $\int e^{- x} \cos (x) d x$ per $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int e^{- x} \cos (x) d x$

Passaggio 7.4.3

Riordina $e^{- x}$ e $\cos (x)$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int \cos (x) e^{- x} d x$

Passaggio 7.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- \sin (x)) d x$

Passaggio 7.6

Poiché $- - 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- - 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (- - 1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Passaggio 7.7

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Passaggio 7.7.2

Moltiplica $\int e^{- x} (\sin (x)) d x$ per $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int e^{- x} (\sin (x)) d x$

Passaggio 7.8

Risolvendo $\int e^{- x} \sin (x) d x$ , troviamo che $\int e^{- x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$

Passaggio 7.9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.9.1

Riscrivi $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$ come $\frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$ .

$e^{- x} y = \frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Passaggio 7.9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.2.1.1

Scomponi $e^{- x}$ da $- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.2.1.1.1

Scomponi $e^{- x}$ da $- \sin (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Passaggio 7.9.2.1.1.2

Scomponi $e^{- x}$ da $- \cos (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))}{2} + C$

Passaggio 7.9.2.1.1.3

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

Passaggio 7.9.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x) - \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.2.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{2} + C$

Passaggio 7.9.2.1.2.2

Scomponi $- 1$ da $- \cos (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{2} + C$

Passaggio 7.9.2.1.2.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{2} + C$

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Passaggio 7.9.2.1.3

Metti in evidenza il valore negativo.

$e^{- x} y = \frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Passaggio 7.9.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$e^{- x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Passaggio 8.2

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Scomponi $\frac{e^{- x}}{2}$ da $\frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Combina.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\sin (x) + \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$