Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 4 y - e^{- x} = 0$ , $y (0) = \frac{4}{3}$

Passaggio 1

Somma $e^{- x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = e^{- x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 4$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 4 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{4 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{4 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{4 x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} e^{- x}$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} e^{- x}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $e^{4 x}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x - x}$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $x$ da $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = e^{3 x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = e^{3 x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{4 x} y = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 7.1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 7.1.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{4 x} y = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 7.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{4 x} y = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 7.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 7.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{u} + C$

Passaggio 7.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{4 x}$ ciascun termine in $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{4 x}$ ciascun termine in $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{4 x}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{3 x}$ e $e^{4 x}$ .

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Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $e^{4 x}$ da $\frac{1}{3} e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{1}{3} e^{- x}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- x} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.3.1.2

$\frac{1}{3}$ e $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $\frac{4}{3}$ in $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ .

$\frac{4}{3} = \frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}}$

Passaggio 10

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$ .

$\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{4}{3}$

Passaggio 10.2.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{1} = \frac{4}{3}$

Passaggio 10.2.3

Dividi $C$ per $1$ .

$\frac{1}{3} + C = \frac{4}{3}$

Passaggio 10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 10.3.1

Sottrai $\frac{1}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 10.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{4 - 1}{3}$

Passaggio 10.3.3

Sottrai $1$ da $4$ .

$C = \frac{3}{3}$

Passaggio 10.3.4

Dividi $3$ per $3$ .

$C = 1$

Passaggio 11

Sostituisci $1$ a $C$ in $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ e semplifica.

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Passaggio 11.1

Sostituisci $1$ a $C$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{1}{e^{4 x}}$