Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y^{2})$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + x) (1 + y^{2}))$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $1 + y^{2}$ da $(1 + x) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x))$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = (1 + x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 1 + x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 1 + x d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 + x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \int x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\arctan (y) + C_{1} = x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i termini.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \tan (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$