Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ per $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ per $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.5

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.6

$y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.7

Moltiplica $3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

$3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + y^{2} \frac{3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.7.2

$y^{2}$ e $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.9

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.10

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.10.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Passaggio 1.10.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Passaggio 1.10.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 y \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.11

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + y \frac{2}{x}}$

Passaggio 1.12

$y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Passaggio 1.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 \cdot y}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Passaggio 1.13.2

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Passaggio 1.14

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Passaggio 1.15

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{2 y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2 + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Passaggio 1.15.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Passaggio 1.16

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{3 y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Passaggio 1.16.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Passaggio 1.17

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{3 y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot 3 \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Passaggio 1.17.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Passaggio 1.18

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{2 y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.18.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Passaggio 1.18.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $V$ da $2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Scomponi $V$ da $2 \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Scomponi $V$ da $3 \cdot V \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + V (3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Scomponi $V$ da $V \cdot 2 + V (3 V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}$

Passaggio 6.1.1.2

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Per scrivere $- V$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V \cdot \frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.1

$- V$ e $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} + \frac{- V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1

Scomponi $V$ da $V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1.1

Scomponi $V$ da $- V (1 + 2 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1.2

Scomponi $V$ da $V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 \cdot 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.5

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (3 V + 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.6

Sottrai $2 V$ da $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.6

Moltiplica $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.7

Riordina i fattori in $\frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{x (1 + 2 V)}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} (\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Moltiplica $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Passaggio 6.1.4.2

Elimina il fattore comune di $1 + 2 V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.2.1

Scomponi $1 + 2 V$ da $(1 + 2 V) x$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) (x)}$

Passaggio 6.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Passaggio 6.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Passaggio 6.1.4.3

Elimina il fattore comune di $V (V + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $V (V + 1)$ .

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $V + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.4.2

Dividi $1 + 2 V$ per $1$ .

$1 + 2 V = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.5

Riordina $1$ e $2 V$ .

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.6.1.2

Dividi $A (V + 1)$ per $1$ .

$2 V + 1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 V + 1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.6.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $V + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 V + 1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.6.4.2

Dividi $(B) (V)$ per $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + (B) (V)$

$2 V + 1 = A V + A + B V$

Passaggio 6.2.2.1.1.7

Sposta $A$ .

$2 V + 1 = A V + B V + A$

Passaggio 6.2.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $V$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + B$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $V$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 6.2.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = A + B$

$1 = A$

$2 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 6.2.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$2 = A + B$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $2 = A + B$ con $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $2 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.3.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 1 A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 1, A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.5

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$\int \frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{V}$ rispetto a $V$ è $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Sia $u = V + 1$ . Allora $d u = d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Sia $u = V + 1$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1.1

Differenzia $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Passaggio 6.2.2.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $V + 1$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Passaggio 6.2.2.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Passaggio 6.2.2.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $1$ rispetto a $V$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.2.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2.2.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \ln (| u |) + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.1

Semplifica.

$\ln (| V |) + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.2.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | | u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.2.2

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| V u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $V + 1$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| V (V + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 8

Risolvi $\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 8.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{y}{x} + 1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + 1)}{x} |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y + x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.3

$y$ e $\frac{y + x}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\frac{y (y + x)}{x}}{x} |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x} |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $\frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.1

Moltiplica $\frac{y (y + x)}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{1 + 1}} |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{2}} |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.6

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\ln (\frac{\frac{| y (y + x) |}{x^{2}}}{| x |}) = C$

Passaggio 8.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Passaggio 8.5

Combina.

$\ln (\frac{| y (y + x) | \cdot 1}{x^{2} | x |}) = C$

Passaggio 8.6

Moltiplica $| y (y + x) |$ per $1$ .

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2} | x |}) = C$