Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} + 5 y = \frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 1.3

Scomponi $y$ da $\frac{5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 1.4

Riordina $y$ e $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{5}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{5}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{5 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{5})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{5}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{5}{x}$ e $y$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x \cdot x^{4} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x \cdot x^{4} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{4} \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.4

$x^{4}$ e $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x^{4} \ln (x)}{x}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{4} \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x}$

Passaggio 3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x^{1}}$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3

Elimina il fattore comune.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x^{3} \ln (x)}{1}$

Passaggio 3.5.2.5

Dividi $x^{3} \ln (x)$ per $1$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{3} \ln (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = x^{3} \ln (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int x^{3} \ln (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{5} y = \int x^{3} \ln (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{3}$ .

$x^{5} y = \ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$x^{5} y = \ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

$x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Passaggio 7.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Passaggio 7.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Passaggio 7.4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 7.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 7.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Passaggio 7.4.2.2.5

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Passaggio 7.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Passaggio 7.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Riscrivi $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ come $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$x^{5} y = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 7.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.1

$\frac{1}{4}$ e $\ln (x)$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 7.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{4}$ e $x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 7.6.2.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C$

Passaggio 7.6.2.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

$x^{5} y = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$x^{4}$ e $\frac{1}{16}$ .

$x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$

Passaggio 8.1.2

Rimuovi le parentesi.

$x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot \ln (x) x^{4} - \frac{x^{4}}{16} + C$

Passaggio 8.2

Dividi per $x^{5}$ ciascun termine in $x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $x^{5}$ ciascun termine in $x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$ .

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1.1

Scomponi $x^{4}$ da $\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1.2.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{4} x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{4} x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (x)$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} - \frac{x^{4}}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{4}}{16}$ nel numeratore.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- x^{4}}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.4.2

Scomponi $x^{4}$ da $- x^{4}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.4.3

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{4} x} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{4} x} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- 1}{16} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.5

Moltiplica $\frac{- 1}{16}$ per $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- 1}{16 x} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} - \frac{1}{16 x} + \frac{C}{x^{5}}$