Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{3 x}}{6 y^{5}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{5}$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = y^{5} \frac{e^{3 x}}{6 y^{5}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{5}$ da $6 y^{5}$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = y^{5} \frac{e^{3 x}}{y^{5} \cdot 6}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = y^{5} \frac{e^{3 x}}{y^{5} \cdot 6}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{3 x}}{6}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{5} d y = \frac{e^{3 x}}{6} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{5} d y = \int \frac{e^{3 x}}{6} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{5}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \int \frac{e^{3 x}}{6} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{6} \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2.3.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 6} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{18} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{18} (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{18} e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{18} e^{3 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{6} y^{6} = \frac{1}{18} e^{3 x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 (\frac{1}{6} y^{6}) = 6 (\frac{1}{18} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $6 (\frac{1}{6} y^{6})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ e $y^{6}$ .

$6 \frac{y^{6}}{6} = 6 (\frac{1}{18} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{y^{6}}{6} = 6 (\frac{1}{18} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{6} = 6 (\frac{1}{18} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $6 (\frac{1}{18} e^{3 x} + K)$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{18}$ e $e^{3 x}$ .

$y^{6} = 6 (\frac{e^{3 x}}{18} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{6} = 6 \frac{e^{3 x}}{18} + 6 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 3.2.2.1.3.1

Scomponi $6$ da $18$ .

$y^{6} = 6 \frac{e^{3 x}}{6 (3)} + 6 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{6} = 6 \frac{e^{3 x}}{6 \cdot 3} + 6 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{6} = \frac{e^{3 x}}{3} + 6 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x}}{3} + 6 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x}}{3} + 6 K}$ .

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Passaggio 3.4.1

Per scrivere $6 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x}}{3} + 6 K \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.4.2

$6 K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x}}{3} + \frac{6 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x} + 6 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $3$ per $6$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x} + 18 K}{3}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $\sqrt[6]{\frac{e^{3 x} + 18 K}{3}}$ come $\frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = - \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = - \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = - \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = - \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + K}}{\sqrt[6]{3}}$