Calcolo Esempi

$(x - 1) d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 1]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (x e^{y} + e^{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x e^{y} + e^{y})]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x e^{y} + e^{y})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x e^{y} + e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x e^{y} + e^{y}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{y} + e^{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Passaggio 2.4

Poiché $e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x e^{y}$ rispetto a $x$ è $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Passaggio 2.6

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Passaggio 2.7

Poiché $e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e^{y}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} + 0)$

Passaggio 2.8

Somma $e^{y}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{y}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- e^{y}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$0 = - e^{y}$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$0 = - e^{y}$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $- e^{y}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - - e^{y}}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- (x e^{y} + e^{y})$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- (x e^{y} + e^{y})$ a $N$ .

$\frac{0 - - e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $- - e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{0 + 1 e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\frac{0 + e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $0$ e $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $e^{y}$ da $x e^{y} + e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $e^{y}$ da $x e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} x + e^{y})}$

Passaggio 4.3.3.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} x + e^{y} \cdot 1)}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $e^{y}$ da $e^{y} x + e^{y} \cdot 1$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} (x + 1))}$

$\frac{e^{y}}{- e^{y} (x + 1)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{y}}{- e^{y} (x + 1)}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 1 (x + 1)}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- 1 (x + 1)}$

Passaggio 4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Passaggio 5.2

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 5.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Passaggio 5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 1 |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- \ln (| x + 1 |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 1 |}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x + 1 |}^{- 1} + C$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 1 |} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x - 1) d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x - 1$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$(x - 1) \frac{1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x - 1$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- (x e^{y} + e^{y})$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) \frac{1}{x + 1} d y = 0$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + (- (x e^{y}) - e^{y}) \frac{1}{x + 1} d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $- x e^{y} - e^{y}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{- x e^{y} - e^{y}}{x + 1} d y = 0$

Passaggio 6.6

Scomponi $e^{y}$ da $- x e^{y} - e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Scomponi $e^{y}$ da $- x e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x) - e^{y}}{x + 1} d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Scomponi $e^{y}$ da $- e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x) + e^{y} \cdot - 1}{x + 1} d y = 0$

Passaggio 6.6.3

Scomponi $e^{y}$ da $e^{y} (- x) + e^{y} \cdot - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x - 1)}{x + 1} d y = 0$

Passaggio 6.7

Elimina il fattore comune di $- x - 1$ e $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x) - 1)}{x + 1} d y = 0$

Passaggio 6.7.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x) - 1 (1))}{x + 1} d y = 0$

Passaggio 6.7.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Passaggio 6.7.4

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- 1 (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Passaggio 6.7.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- 1 (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Passaggio 6.7.6

Dividi $e^{y} \cdot (- 1)$ per $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + e^{y} \cdot (- 1) d y = 0$

Passaggio 6.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - 1 \cdot e^{y} d y = 0$

Passaggio 6.9

Riscrivi $- 1 e^{y}$ come $- e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - e^{y} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - e^{y} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = - e^{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \int e^{y} d y$

Passaggio 8.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$f (x, y) = - (e^{y} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica.

$f (x, y) = - e^{y} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{y} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{y} + g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- e^{y} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Passaggio 11.3

Poiché $- e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{y}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Passaggio 11.5

Somma $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Passaggio 12

Trova l'antiderivata di $\frac{x - 1}{x + 1}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x - 1}{x + 1} d x$

Passaggio 12.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x - 1}{x + 1} d x$

Passaggio 12.3

Dividi $x - 1$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

Passaggio 12.3.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	-	$1$

Passaggio 12.3.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$1$

Passaggio 12.3.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$

Passaggio 12.3.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$
					-	$2$

Passaggio 12.3.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$g (x) = \int 1 - \frac{2}{x + 1} d x$

Passaggio 12.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = \int d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Passaggio 12.5

Applica la regola costante.

$g (x) = x + C + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Passaggio 12.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = x + C - \int \frac{2}{x + 1} d x$

Passaggio 12.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (x) = x + C - (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 12.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (x) = x + C - 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 12.9

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.9.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.9.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 12.9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 12.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 12.9.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 12.9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 12.9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = x + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12.10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$g (x) = x + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 12.11

Semplifica.

$g (x) = x - 2 \ln (| u |) + C$

Passaggio 12.12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$g (x) = x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{y} + x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$

Passaggio 14

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica $- 2 \ln (| x + 1 |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = - e^{y} + x - \ln ({| x + 1 |}^{2}) + C$

Passaggio 14.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x + 1 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$f (x, y) = - e^{y} + x - \ln ({(x + 1)}^{2}) + C$