Calcolo Esempi

$(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x y - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - y]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x - 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x - 1 = 2 x + 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x - 1 = 2 x + 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 x - 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x + 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x^{2} + x$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x^{2} + x$ a $N$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{x^{2} + x}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1}{x^{2} + x}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{x^{2} + x}$

Passaggio 4.3.2.5

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{x^{2} + x}$

Passaggio 4.3.2.6

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{- 2}{x^{2} + x}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x}$

Passaggio 4.3.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x^{1}}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Passaggio 4.3.3.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{- 2}{x (x + 1)}$

Passaggio 4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x (x + 1)}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x}$

Passaggio 5.4

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 5.4.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.4.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.4.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.4.1.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.4.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.4.1.5.1.2

Dividi $A (x + 1)$ per $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.4.1.5.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.4.1.5.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.4.1.5.4.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Passaggio 5.4.1.6

Sposta $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Passaggio 5.4.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 5.4.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 5.4.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 5.4.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 5.4.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Passaggio 5.4.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Passaggio 5.4.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Passaggio 5.4.3.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Passaggio 5.4.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 1 A = 1$

Passaggio 5.4.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, A = 1$

Passaggio 5.4.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Passaggio 5.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x}$

Passaggio 5.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Passaggio 5.6

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Passaggio 5.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Passaggio 5.8

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 5.8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.8.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u)}$

Passaggio 5.9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C))}$

Passaggio 5.10

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| u |})} + C$

Passaggio 5.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})} + C$

Passaggio 5.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.1

Semplifica $- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.12.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2} + C$

Passaggio 5.12.3

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$μ (x, y) = {(\frac{| x + 1 |}{| x |})}^{2} + C$

Passaggio 5.12.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

$μ (x, y) = \frac{{| x + 1 |}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.5.1

Rimuovi il valore assoluto in ${| x + 1 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.2

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$μ (x, y) = \frac{(x + 1) (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.3

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$μ (x, y) = \frac{x (x + 1) + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.5.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.4.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.4.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.4.2

Somma $x$ e $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.5.5.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.5.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 5.12.5.5.3

Riscrivi il polinomio.

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.5.5.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Passaggio 5.12.6

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2 x y - y$ per $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$(2 x y - y) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2 x y - y$ per $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(2 x y - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $y$ da $2 x y - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $y$ da $2 x y$ .

$\frac{(y (2 x) - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{(y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $y$ da $y (2 x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x^{2} + x$ per $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x^{2} + x$ per $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x^{2} + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x^{1}) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6.1.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $x + 1$ per ${(x + 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Sposta ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6.2.2

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.2.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1})}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{2 + 1}}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Scomponi $x$ da $x {(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 6.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 6.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} y + C$

Passaggio 8.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$\frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi $\frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$ come $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Passaggio 8.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Passaggio 8.2.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) y}{x} + C$

Passaggio 8.2.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) y}{x} + C$

Passaggio 8.2.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ e $g (x) = x$ .

$y \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.11

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.12

Moltiplica $3$ per $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.13

Somma $3 x^{2} + 6 x + 3$ e $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.15

$y$ e $\frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - x^{3} - (3 x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (x (3 x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y (3 x^{1 + 2}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{y (3 x^{3}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.4

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{3 \cdot y x^{3} + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x^{1})) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{1 + 1}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{2}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.9

Sposta $6$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 \cdot y x^{2} + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.10

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + y (3 \cdot x) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.11

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 \cdot y x + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.12

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.13

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.15

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - 1 \cdot y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.16

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.17

Sposta $y$ .

$\frac{3 x^{3} y - x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.18

Sottrai $x^{3} y$ da $3 x^{3} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.19

Sposta $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 x^{2} y - 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.20

Sottrai $3 x^{2} y$ da $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.21

Sposta $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y - 3 x y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.22

Sottrai $3 x y$ da $3 x y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 0 - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.4.23

Somma $2 x^{3} y + 3 x^{2} y$ e $0$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.6

Scomponi $y$ da $2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.6.1

Scomponi $y$ da $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.6.2

Scomponi $y$ da $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.6.3

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.6.4

Scomponi $y$ da $y (2 x^{3}) + y (3 x^{2})$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.6.5

Scomponi $y$ da $y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.7

Per scrivere $\frac{d g}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.9.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.9.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.9.2.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - 1 \cdot y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.9.3

Semplifica ciascun termine.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.10

Riordina i fattori in $\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 12.1.2

Semplifica $y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Riscrivi.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 12.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 12.1.2.2.2

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 12.1.2.2.2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.2.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 12.1.2.2.2.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - 1 \cdot y) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 12.1.2.2.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 12.1.2.2.4

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) ((x + 1) (x + 1))$

Passaggio 12.1.2.3

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Passaggio 12.1.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Passaggio 12.1.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 12.1.2.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 12.1.2.4.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 12.1.2.4.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 12.1.2.4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1)$

Passaggio 12.1.2.4.2

Somma $x$ e $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 12.1.2.5

Espandi $(2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.6.1

Combina i termini opposti in $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.6.1.1

Riordina i fattori nei termini di $2 y x \cdot 1$ e $- y (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 1 \cdot 2 x y - y x^{2} - 1 \cdot 2 x y - y \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.6.1.2

Sottrai $2 x y$ da $1 \cdot 2 x y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} + 0 - y \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.6.1.3

Somma $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.6.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.6.2.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.6.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.6.2.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x^{1}) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.6.2.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{2 + 1} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.6.2.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.6.2.2.1

Sposta $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y (x \cdot x) \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.6.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x^{2} \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.6.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.6.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y$

Passaggio 12.1.2.6.3

Sottrai $y x^{2}$ da $4 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y$

Passaggio 12.1.3

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Sottrai $2 y x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3}$

Passaggio 12.1.3.2

Sottrai $3 y x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} \frac{d g}{d x} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2}$

Passaggio 12.1.3.3

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$

Passaggio 12.1.3.4

Combina i termini opposti in $2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.4.1

Sottrai $2 y x^{3}$ da $2 y x^{3}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y + 0 - 3 y x^{2} + y$

Passaggio 12.1.3.4.2

Somma $3 y x^{2} - y$ e $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y - 3 y x^{2} + y$

Passaggio 12.1.3.4.3

Sottrai $3 y x^{2}$ da $3 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + 0 + y$

Passaggio 12.1.3.4.4

Somma $- y$ e $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + y$

Passaggio 12.1.3.4.5

Somma $- y$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 12.1.4

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Passaggio 12.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Passaggio 12.1.4.2.1.2

Dividi $\frac{d g}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{2}}$

Passaggio 12.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.3.1

Dividi $0$ per $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 13.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 13.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Passaggio 15

Riordina i fattori in $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x} + C$