Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$ , $y (3) = - 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

$2$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Passaggio 3.4.5

$2$ e $\frac{x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$ come $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 3.4.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 3.4.8.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Passaggio 3.4.9.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

Passaggio 5

Poiché $y$ è negativa nella condizione iniziale $(3, - 2)$ , considera solo $y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $3$ a $x$ e $- 2$ a $y$ .

$- 2 = - \frac{\sqrt{6 (3^{3} + K)}}{3}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{\sqrt{6 (3^{3} + K)}}{3} = - 2$ .

$- \frac{\sqrt{6 (3^{3} + K)}}{3} = - 2$

Passaggio 6.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 3$ .

$- 3 (- \frac{\sqrt{6 (3^{3} + K)}}{3}) = - 3 \cdot - 2$

Passaggio 6.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $- 3 (- \frac{\sqrt{6 (3^{3} + K)}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{6 (3^{3} + K)}}{3}$ nel numeratore.

$- 3 \frac{- \sqrt{6 (3^{3} + K)}}{3} = - 3 \cdot - 2$

Passaggio 6.3.1.1.1.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \sqrt{6 (3^{3} + K)}}{3} = - 3 \cdot - 2$

Passaggio 6.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{6 (3^{3} + K)}}{3} = - 3 \cdot - 2$

Passaggio 6.3.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - \sqrt{6 (3^{3} + K)} = - 3 \cdot - 2$

Passaggio 6.3.1.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \sqrt{6 (3^{3} + K)} = - 3 \cdot - 2$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Moltiplica $\sqrt{6 (3^{3} + K)}$ per $1$ .

$\sqrt{6 (3^{3} + K)} = - 3 \cdot - 2$

Passaggio 6.3.1.1.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\sqrt{6 (27 + K)} = - 3 \cdot - 2$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\sqrt{6 (27 + K)} = 6$

Passaggio 6.4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{6 (27 + K)}}^{2} = 6^{2}$

Passaggio 6.5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 (27 + K)}$ come ${(6 (27 + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 (27 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ${({(6 (27 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(6 (27 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 (27 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Passaggio 6.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(6 (27 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Passaggio 6.5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(6 (27 + K))}^{1} = 6^{2}$

Passaggio 6.5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(6 \cdot 27 + 6 K)}^{1} = 6^{2}$

Passaggio 6.5.2.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.3.1

Moltiplica $6$ per $27$ .

${(162 + 6 K)}^{1} = 6^{2}$

Passaggio 6.5.2.1.3.2

Semplifica.

$162 + 6 K = 6^{2}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$162 + 6 K = 36$

Passaggio 6.6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Sottrai $162$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 K = 36 - 162$

Passaggio 6.6.1.2

Sottrai $162$ da $36$ .

$6 K = - 126$

Passaggio 6.6.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 K = - 126$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 K = - 126$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 126}{6}$

Passaggio 6.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 126}{6}$

Passaggio 6.6.2.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{- 126}{6}$

Passaggio 6.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1

Dividi $- 126$ per $6$ .

$K = - 21$

Passaggio 7

Sostituisci $- 21$ a $K$ in $y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $- 21$ a $K$ .

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} - 21)}}{3}$