Calcolo Esempi

$(t^{2} + 1) \frac{d y}{d t} = 2 y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Dividi per $t^{2} + 1$ ciascun termine in $(t^{2} + 1) \frac{d y}{d t} = 2 y$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.1

Dividi per $t^{2} + 1$ ciascun termine in $(t^{2} + 1) \frac{d y}{d t} = 2 y$ .

$\frac{(t^{2} + 1) \frac{d y}{d t}}{t^{2} + 1} = \frac{2 y}{t^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $t^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(t^{2} + 1) \frac{d y}{d t}}{t^{2} + 1} = \frac{2 y}{t^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 y}{t^{2} + 1}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{2} + 1}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{t^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{t^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{t^{2} + 1}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.2.1

Riordina $t^{2}$ e $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ rispetto a $t$ è $\arctan (t) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\arctan (t) + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \arctan (t) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \arctan (t) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 \arctan (t) + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = 2 \arctan (t) + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 \arctan (t) + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{2 \arctan (t) + C}$ .

$| y | = e^{2 \arctan (t) + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 \arctan (t) + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{2 \arctan (t) + C}$ come $e^{2 \arctan (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 \arctan (t)} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{2 \arctan (t)}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 \arctan (t)}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{2 \arctan (t)}$