Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2}}{8 y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{5 x^{2}}{8 y^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $8 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{5 x^{2}}{y^{2} \cdot 8}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{5 x^{2}}{y^{2} \cdot 8}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2}}{8}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \frac{5 x^{2}}{8} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \frac{5 x^{2}}{8} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{5 x^{2}}{8} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{5}{8}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{5}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{5}{8} \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{5}{8} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $\frac{5}{8} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $\frac{5}{8} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{5}{8}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{5}{8 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{5}{24} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{5}{24} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{5}{24} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{5}{24} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{5}{24} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\frac{5}{24} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{5}{24} x^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{5}{24}$ e $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{5 x^{3}}{24} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{5 x^{3}}{24} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$y^{3} = 3 \frac{5 x^{3}}{3 (8)} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = 3 \frac{5 x^{3}}{3 \cdot 8} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = \frac{5 x^{3}}{8} + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{5 x^{3}}{8} + 3 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{5 x^{3}}{8} + 3 K}$ .

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Passaggio 3.4.1

Per scrivere $3 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{5 x^{3}}{8} + 3 K \cdot \frac{8}{8}}$

Passaggio 3.4.2

$3 K$ e $\frac{8}{8}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{5 x^{3}}{8} + \frac{3 K \cdot 8}{8}}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{5 x^{3} + 3 K \cdot 8}{8}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $8$ per $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{5 x^{3} + 24 K}{8}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $\frac{5 x^{3} + 24 K}{8}$ come ${(\frac{1}{2})}^{3} (5 x^{3} + 24 K)$ .

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Passaggio 3.4.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{3}$ su $5 x^{3} + 24 K$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (5 x^{3} + 24 K)}{8}}$

Passaggio 3.4.5.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{3}$ su $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (5 x^{3} + 24 K)}{2^{3} \cdot 1}}$

Passaggio 3.4.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{3} (5 x^{3} + 24 K)}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (5 x^{3} + 24 K)}$

Passaggio 3.4.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{5 x^{3} + 24 K}$

Passaggio 3.4.7

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt[3]{5 x^{3} + 24 K}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{5 x^{3} + 24 K}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{5 x^{3} + K}}{2}$