Calcolo Esempi

$(1 + x^{3}) d y - x^{2} y d x = 0$

Passaggio 1

Somma $x^{2} y d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$(1 + x^{3}) d y = x^{2} y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1 + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1 + x^{3}$ da $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $y$ da $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (x^{2} y) d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (y x^{2}) d x$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (y x^{2}) d x$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{3}} x^{2} d x$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{1 + x^{3}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Passaggio 3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{1^{3} + x^{3}} d x$

Passaggio 3.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} d x$

Passaggio 3.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} d x$

Passaggio 3.4.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sia $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Sia $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Differenzia $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Passaggio 4.3.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.3.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.3.1.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.3.1.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.3.1.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.3.1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.3.1.1.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.3.1.1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.3.1.1.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.1.1.3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.1.1.3.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.1.1.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Passaggio 4.3.1.1.3.12

Moltiplica $1 - x + x^{2}$ per $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.9

Somma $- x$ e $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.10

Somma $- 1$ e $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.11

Somma $x + 2 x^{2}$ e $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.12

Sottrai $x$ da $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.13

Somma $2 x^{2}$ e $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.1.4.4.14

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Passaggio 4.3.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 u} d u$

Passaggio 4.3.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{3}$ e $\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)}{3} + C$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)}{3} = C$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Espandi $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.2.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.2.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.6.1

Sposta $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.2.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.2.7

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.7.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.2.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.2.7.2

Somma $1$ e $2$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Somma $- x$ e $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $1 + x^{2}$ e $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.3.3

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + 0 + x^{3} |)}{3} = C$

Passaggio 5.3.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Passaggio 5.4

Per scrivere $\ln (| y |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Passaggio 5.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

$\ln (| y |)$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Passaggio 5.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3 - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Passaggio 5.6

Sposta $3$ alla sinistra di $\ln (| y |)$ .

$\frac{3 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Passaggio 5.7

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Semplifica $\frac{3 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1.1

Semplifica $3 \ln (| y |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{3}) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{3} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1^{3} + x^{3} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1.3.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.4

Espandi $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1.3.5.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.5.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.5.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.5.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.5.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.5.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1.3.5.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.5.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.5.7

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1.3.5.7.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1.3.5.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.5.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.5.7.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.6

Combina i termini opposti in $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1.3.6.1

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.6.2

Somma $1 + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.6.3

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + 0 + x^{3} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.6.4

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{3} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.7

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1^{3} + x^{3} |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.8

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1.3.9.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.1.3.9.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3} = C$

Passaggio 5.7.1.2

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})$ .

$\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Passaggio 5.7.1.3

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}^{\frac{1}{3}}) = C$

Passaggio 5.7.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$ .

$\ln (\frac{{({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3 (\frac{1}{3})}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.5.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{{| y |}^{3 (\frac{1}{3})}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{{| y |}^{1}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.5.2

Semplifica.

$\ln (\frac{| y |}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.6.1

Espandi $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.6.2.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.2.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.2.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.2.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.6.2.6.1

Sposta $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.2.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.2.7

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.6.2.7.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.6.2.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.2.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.2.7.2

Somma $1$ e $2$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.3

Combina i termini opposti in $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.6.3.1

Somma $- x$ e $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.3.2

Somma $1 + x^{2}$ e $0$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.3.3

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + 0 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.7.1.6.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 5.8

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

Passaggio 5.9

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.10

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.10.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

Passaggio 5.10.2

Moltiplica ogni lato per ${| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.10.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.10.3.1

Elimina il fattore comune di ${| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.10.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.10.4

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm C {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$