Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y + x}{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{2 y + x}{x}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $\frac{2 y}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = \frac{x}{x}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{x}{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{2 y}{x}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C$

Passaggio 7.3

Riscrivi $- x^{- 1} + C$ come $- \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 8.1.1

Somma $\frac{1}{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} = C$

Passaggio 8.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} - C = 0$

Passaggio 8.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} - C = 0$

Passaggio 8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 8.2.1

Sottrai $\frac{1}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{1}{x}$

Passaggio 8.2.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} + C) x^{2}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

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Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} + C) x^{2}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (- \frac{1}{x} + C) x^{2}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(- \frac{1}{x} + C) x^{2}$ .

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Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{x} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 8.4.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$y = \frac{- 1}{x} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - 1 x + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.4.2.1.3.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = - x + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.3.2

Riordina $- x$ e $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} - x$