Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) + y \cot (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Sottrai $y \cot (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - y \cot (x) = \csc (x)$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $- y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cot (x)) = \csc (x)$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $- 1 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cot (x) y = \csc (x)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 1 \cot (x)$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 \cot (x) d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- 1 \cot (x)$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \cot (x) d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sin (x) |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{- \ln (| \sin (x) |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (\sin (x))}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (\sin^{- 1} (x))}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\sin^{- 1} (x)$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 2.7

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\csc (x)$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} + \csc (x) (- 1 \cot (x) y) = \csc (x) \csc (x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc (x) \csc (x)$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\csc (x) \csc (x)$ .

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Passaggio 3.3.1

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc (x)$

Passaggio 3.3.2

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc^{1} (x)$

Passaggio 3.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = {\csc (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 3.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - y \csc (x) \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\csc (x) y] = \csc^{2} (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\csc (x) y] d x = \int \csc^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\csc (x) y = \int \csc^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $- \cot (x)$ è $\csc^{2} (x)$ , l'integrale di $\csc^{2} (x)$ è $- \cot (x)$ .

$\csc (x) y = - \cot (x) + C$

Passaggio 8

Dividi per $\csc (x)$ ciascun termine in $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $\csc (x)$ ciascun termine in $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ .

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $\csc (x)$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Frazioni separate.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Passaggio 8.3.1.2

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{C}{\csc (x)}$

Passaggio 8.3.1.5

Scrivi $\sin (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Passaggio 8.3.1.6

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 8.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Passaggio 8.3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 1}{1} \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Passaggio 8.3.1.7

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Passaggio 8.3.1.8

Frazioni separate.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Passaggio 8.3.1.9

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Passaggio 8.3.1.10

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \sin (x))$

Passaggio 8.3.1.11

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \sin (x)$

Passaggio 8.3.1.12

Dividi $C$ per $1$ .

$y = - \cos (x) + C \sin (x)$