Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 5 y + \ln (x) = 0$

Passaggio 1

Sottrai $\ln (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + 5 y = - \ln (x)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 5 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{5 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{5 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{5 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + e^{5 x} (5 y) = e^{5 x} (- \ln (x))$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{5 x} (- \ln (x))$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = - e^{5 x} \ln (x)$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = - e^{5 x} \ln (x)$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 y e^{5 x} = - e^{5 x} \ln (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = - e^{5 x} \ln (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int - e^{5 x} \ln (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{5 x} y = \int - e^{5 x} \ln (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{5 x} y = - \int e^{5 x} \ln (x) d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

$\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7.3.2

$\ln (x)$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7.3.3

$\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $\frac{e^{5 x}}{5}$ per $\frac{1}{x}$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5 x} d x)$

Passaggio 7.4

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{e^{5 x}}{x} d x))$

Passaggio 7.5

Sia $u = 5 x$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sia $u = 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.5.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 7.5.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 7.5.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 7.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{5}} \cdot \frac{1}{5} d u)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{u}{5}$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{5}{u} \frac{1}{5} d u)$

Passaggio 7.6.2

$e^{u}$ e $\frac{5}{u}$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u} \cdot 5}{u} \cdot \frac{1}{5} d u)$

Passaggio 7.6.3

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{u}$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{5 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{5} d u)$

Passaggio 7.6.4

Moltiplica $\frac{5 e^{u}}{u}$ per $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{5 e^{u}}{u \cdot 5} d u)$

Passaggio 7.6.5

Sposta $5$ alla sinistra di $u$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{5 e^{u}}{5 \cdot u} d u)$

Passaggio 7.6.6

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.6.1

Elimina il fattore comune.

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{5 e^{u}}{5 u} d u)$

Passaggio 7.6.6.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

Passaggio 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ è un integrale speciale. L'integrale è la funzione integrale esponenziale.

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (E i (u) + C))$

Passaggio 7.8

Riscrivi $- (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (E i (u) + C))$ come $- (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{E i (u)}{5}) + C$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{1}{5} \ln (x) e^{5 x} - \frac{E i (u)}{5}) + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $\frac{1}{5} (\ln (x) e^{5 x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x)}{5} e^{5 x} - \frac{E i (u)}{5}) + C$

Passaggio 8.1.1.2

$\frac{\ln (x)}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{E i (u)}{5}) + C$

$e^{5 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - \frac{E i u}{5}) + C$

Passaggio 8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{5 x} y = - \frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} - - \frac{E i u}{5} + C$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $- - \frac{E i u}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} + 1 \frac{E i u}{5} + C$

Passaggio 8.1.3.2

Moltiplica $\frac{E i u}{5}$ per $1$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} + \frac{E i u}{5} + C$

Passaggio 8.1.4

Riordina i fattori in $- \frac{\ln (x) e^{5 x}}{5} + \frac{E i u}{5}$ .

$e^{5 x} y = - \frac{e^{5 x} \ln (x)}{5} + \frac{E i u}{5} + C$

Passaggio 8.2

Dividi per $e^{5 x}$ ciascun termine in $e^{5 x} y = - \frac{e^{5 x} \ln (x)}{5} + \frac{E i u}{5} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $e^{5 x}$ ciascun termine in $e^{5 x} y = - \frac{e^{5 x} \ln (x)}{5} + \frac{E i u}{5} + C$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{e^{5 x} \ln (x)}{5}}{e^{5 x}} + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{5 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{e^{5 x} \ln (x)}{5}}{e^{5 x}} + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{5 x} \ln (x)}{5}}{e^{5 x}} + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \frac{e^{5 x} \ln (x)}{5} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{5 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{5 x} \ln (x)}{5}$ nel numeratore.

$y = \frac{- e^{5 x} \ln (x)}{5} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2.2

Scomponi $e^{5 x}$ da $- e^{5 x} \ln (x)$ .

$y = \frac{e^{5 x} (- 1 \ln (x))}{5} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{5 x} (- 1 \ln (x))}{5} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{5} + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.3

Riscrivi $\frac{- 1 \ln (x)}{5}$ come $\frac{- 1}{5} \ln (x)$ .

$y = \frac{- 1}{5} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.4

Semplifica $\frac{- 1}{5} \ln (x)$ spostando $- \frac{- 1}{5}$ all'interno del logaritmo.

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{5}}) + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{5}}) + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.6

Moltiplica $- - \frac{1}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{5})}) + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.6.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \frac{\frac{E i u}{5}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \frac{E i u}{5} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.8

Combina.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \frac{E i u \cdot 1}{5 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.9

Moltiplica $E$ per $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \frac{E i u}{5 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$