Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \sqrt[3]{x}$ , $y (1) = 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \sqrt[3]{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \sqrt[3]{x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \sqrt[3]{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $2$ in $y = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + K$ .

$2 = \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} + K = 2$ .

$\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} + K = 2$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3}{4} \cdot 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$\frac{3}{4} + K = 2$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{3}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 2 - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$K = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.3.3

$2$ e $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{2 \cdot 4 - 3}{4}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$K = \frac{8 - 3}{4}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $3$ da $8$ .

$K = \frac{5}{4}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{5}{4}$ a $K$ in $y = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{5}{4}$ a $K$ .

$y = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2

$\frac{3}{4}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{5}{4}$