Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = (2 x - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x^{2} - x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x^{2} - x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (x^{2} - x + K)$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 x^{2} + 3 (- x) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y^{3} = 3 x^{2} - 3 x + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} - 3 x + 3 K}$

Passaggio 3.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 3 x + 3 K$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) - 3 x + 3 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $3$ da $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 K}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} - x) + 3 K}$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - x) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} - x + K)}$