Calcolo Esempi

$(x^{2} - y^{2}) d x + 3 x (y d) y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Passaggio 1.4

Sottrai $2 y$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 3 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y]$

Passaggio 2.2

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x y$ rispetto a $x$ è $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 y = 3 y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 2 y = 3 y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $3 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - (3 y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $3 x y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $3 x y$ a $N$ .

$\frac{- 2 y - (3 y)}{3 x y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $y$ da $- 2 y - 1 \cdot 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $y$ da $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - 1 \cdot 3 y}{3 x y}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $- 1 \cdot 3 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y (- 2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{y (- 2 - 3)}{3 x y}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$\frac{y \cdot - 5}{3 x y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot - 5}{3 x y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5}{3 x}$

Passaggio 4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{3 x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{3 x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{5}{3 x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{3 x} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{5}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{5}{3}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{5}{3} \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 5.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{5}{3} \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- \frac{5}{3} \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Riordina $\ln (| x |)$ e $\frac{5}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{5}{3} \ln (| x |))} + C$

Passaggio 5.5.1.2

Semplifica $\frac{5}{3} \ln (| x |)$ spostando $\frac{5}{3}$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{5}{3}})} + C$

Passaggio 5.5.2

Semplifica $- \ln ({| x |}^{\frac{5}{3}})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.5.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1} + C$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica gli esponenti in ${({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{5}{3} \cdot - 1} + C$

Passaggio 5.5.4.2

Moltiplica $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

$\frac{5}{3}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} + C$

Passaggio 5.5.4.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 5}{3}} + C$

Passaggio 5.5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{5}{3}} + C$

Passaggio 5.5.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{5}{3}}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x^{2} - y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x^{2} - y^{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x^{2} - y^{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Passaggio 6.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $3 x y$ per $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $3 x y \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

$3$ e $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + x y \frac{3}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.5.2

$x$ e $\frac{3}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + y \frac{x \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.5.3

$y$ e $\frac{x \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y (x \cdot 3)}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Sposta $x^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}} x^{- 1}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $x^{\frac{5}{3}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} - 1}} d y = 0$

Passaggio 6.7.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.7.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5 - 3}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.7.5.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{2}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.8

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \int y d y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2 \cdot x^{\frac{2}{3}}} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $2$ per $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4

$\frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $\frac{3 y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.5.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.11

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.13.1

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.13.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.13.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.14

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.15

Moltiplica $\frac{3 y^{2}}{2}$ per $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{3 y^{2} \cdot 2}{2 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.16

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{6 y^{2}}{2 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.17

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.18

Elimina il fattore comune.

$- \frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.3.19

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Semplifica $\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} - \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + (- x - y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2

Espandi $(- x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x (x - y) - y (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 1 x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.1.6.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.8

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.2

Sottrai $y x$ da $x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - 1 x y + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.2.2

Sottrai $x y$ da $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 0 + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.3

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Combina i termini opposti in $- y^{2} - x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Somma $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.4.1

Sposta $x^{\frac{5}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{5}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{5}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.4.2.1

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{5}{3}} x^{2}) = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + 2} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.4

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 5 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.4.2.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 5 + 6}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.6.2

Somma $- 5$ e $6$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{1}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Trova un fattore comune $x^{\frac{1}{3}}$ che è presente in ciascun termine.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} - x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 12.1.3

Sostituisci $u$ a $x^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} - (u) = 0$

Passaggio 12.1.4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - u = 0$

Passaggio 12.1.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - u = 0$

Passaggio 12.1.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} - u = 0$

Passaggio 12.1.4.1.2

Semplifica.

$\frac{d g}{d x} - u = 0$

Passaggio 12.1.4.2

Sottrai $\frac{d g}{d x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- u = - \frac{d g}{d x}$

Passaggio 12.1.4.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- u = - \frac{d g}{d x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- u = - \frac{d g}{d x}$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

Passaggio 12.1.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{u}{1} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

Passaggio 12.1.4.3.2.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

Passaggio 12.1.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$u = \frac{\frac{d g}{d x}}{1}$

Passaggio 12.1.4.3.3.2

Dividi $\frac{d g}{d x}$ per $1$ .

$u = \frac{d g}{d x}$

Passaggio 12.1.5

Sostituisci $\frac{d g}{d x}$ a $u$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{d g}{d x}$

Passaggio 12.1.6

Riscrivi $x^{\frac{1}{3}} = \frac{d g}{d x}$ in modo che $\frac{d g}{d x}$ sia sul lato sinistro.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $x^{\frac{1}{3}}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Passaggio 13.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$g (x) = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 15

$\frac{3}{4}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C$