Calcolo Esempi

$\frac{d s}{d t} = \frac{(s^{3} - s) (4 t^{3} - 6 t)}{(t^{4} - 3 t^{2}) (3 s^{2} - 1)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d s}{d t} = \frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $s$ da $s^{3} - s$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1.1

Scomponi $s$ da $s^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s \cdot s^{2} - s} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.1.1.2

Scomponi $s$ da $- s$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s \cdot s^{2} + s \cdot - 1} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.1.1.3

Scomponi $s$ da $s \cdot s^{2} + s \cdot - 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s^{2} - 1)} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s^{2} - 1^{2})} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = s$ e $b = 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $s$ da $s^{3} - s$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Scomponi $s$ da $s^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s \cdot s^{2} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.2.1.2

Scomponi $s$ da $- s$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s \cdot s^{2} + s \cdot - 1}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.2.1.3

Scomponi $s$ da $s \cdot s^{2} + s \cdot - 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s^{2} - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s^{2} - 1^{2})}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = s$ e $b = 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.3

Scomponi $2 t$ da $4 t^{3} - 6 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $2 t$ da $4 t^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2}) - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.3.2

Scomponi $2 t$ da $- 6 t$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 3)}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.3.3

Scomponi $2 t$ da $2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $t^{2}$ da $t^{4} - 3 t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $t^{2}$ da $t^{4}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} t^{2} - 3 t^{2}})$

Passaggio 1.3.4.2

Scomponi $t^{2}$ da $- 3 t^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 3})$

Passaggio 1.3.4.3

Scomponi $t^{2}$ da $t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} (t^{2} - 3)})$

Passaggio 1.3.5

Elimina il fattore comune di $t$ e $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Scomponi $t$ da $2 t (2 t^{2} - 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t^{2} (t^{2} - 3)})$

Passaggio 1.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Scomponi $t$ da $t^{2} (t^{2} - 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t (t^{2} - 3))})$

Passaggio 1.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t (t^{2} - 3))})$

Passaggio 1.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)})$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1}$ per $\frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{(3 s^{2} - 1) (t (t^{2} - 3))}$

Passaggio 1.3.7

Elimina il fattore comune di $3 s^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{(3 s^{2} - 1) (t (t^{2} - 3))}$

Passaggio 1.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)}$

Passaggio 1.3.8

Elimina il fattore comune di $s (s + 1) (s - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)}$

Passaggio 1.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} d s = \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} d s = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = s^{3} - s$ . Allora $d u_{1} = (3 s^{2} - 1) d s$ , quindi $\frac{1}{3 s^{2} - 1} d u_{1} = d s$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = s^{3} - s$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d s}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $s^{3} - s$ .

$\frac{d}{d s} [s^{3} - s]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $s^{3} - s$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [- s]$ .

$\frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [- s]$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 s^{2} + \frac{d}{d s} [- s]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d s} [- s]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $- s$ rispetto a $s$ è $- \frac{d}{d s} [s]$ .

$3 s^{2} - \frac{d}{d s} [s]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 s^{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 s^{2} - 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $s^{3} - s$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \int \frac{2 t^{2} - 3}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 2.3.2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $t (t^{2} - 3)$ .

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $t^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Dividi $2 t^{2} - 3$ per $1$ .

$2 t^{2} - 3 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.5.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 t^{2} - 3 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.1.5.1.2

Dividi $A (t^{2} - 3)$ per $1$ .

$2 t^{2} - 3 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.1.5.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $A$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.1.5.4

Elimina il fattore comune di $t^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.1.5.4.2

Dividi $(B t + C) (t)$ per $1$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

Passaggio 2.3.2.1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

Passaggio 2.3.2.1.5.6

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.5.6.1

Sposta $t$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

Passaggio 2.3.2.1.5.6.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

Passaggio 2.3.2.1.6

Sposta $- 3 A$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

Passaggio 2.3.2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $t^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + B$

Passaggio 2.3.2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $t$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 2.3.2.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $t$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 3 = - 3 A$

Passaggio 2.3.2.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = A + B$

$0 = C$

$- 3 = - 3 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$- 3 = - 3 A$

Passaggio 2.3.2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 3 = - 3 A$

Passaggio 2.3.2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 A = - 3$ .

$- 3 A = - 3$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 2.3.2.3.2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = - 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 2.3.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 2.3.2.3.2.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 2.3.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 3$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 2.3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $2 = A + B$ con $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 2.3.2.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 2.3.2.3.4

Risolvi per $B$ in $2 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 2.3.2.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 2.3.2.3.4.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 2.3.2.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Passaggio 2.3.2.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Passaggio 2.3.2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{t} + \frac{1 t + 0}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{t} + \frac{(1) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.2.1

Moltiplica $t$ per $1$ .

$\frac{1}{t} + \frac{t + 0}{t^{2} - 3}$

Passaggio 2.3.2.5.2.2

Somma $t$ e $0$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} + \frac{t}{t^{2} - 3} d t$

Passaggio 2.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\int \frac{1}{t} d t + \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Passaggio 2.3.5

Sia $u_{2} = t^{2} - 3$ . Allora $d u_{2} = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Sia $u_{2} = t^{2} - 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 2.3.5.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 t + 0$

Passaggio 2.3.5.1.5

Somma $2 t$ e $0$ .

$2 t$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2})$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t^{2} - 3$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{1}{2} \ln (| t^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| t^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.2

Per scrivere $\ln (| t |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.3

$\ln (| t |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\frac{\ln (| t |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \frac{\ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |)}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.5.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \frac{\ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |)}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = \ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (| t |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| s^{3} - s |) = 2 \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) + C$