Calcolo Esempi

$3 (y + 1) d x + x y d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $3 (y + 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y d y = - 3 (y + 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y + 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- 3 (y + 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{1}{x (y + 1)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- 3 (y + 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x (y + 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- 3 (y + 1)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- 3 (y + 1)) d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{y + 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- 3 (y + 1)) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y}{y + 1} d y = - 3 \frac{1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Passaggio 3.4

$- 3$ e $\frac{1}{x (y + 1)}$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{- 3}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $y + 1$ da $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{- 3}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{- 3}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{- 3}{x} d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y}{y + 1} d y = - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Dividi $y$ per $y + 1$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Passaggio 4.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Passaggio 4.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 4.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Sia $u = y + 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Sia $u = y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 4.2.5.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 4.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 4.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.2.7

Semplifica.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - 3 (\ln (| x |) + C_{4})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - 3 \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = - 3 \ln (| x |) + C$