Calcolo Esempi

$x \cdot y + x + \frac{d y}{d x} \cdot y + \frac{d y}{d x} \cdot y \cdot x = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Moltiplica $\frac{d y}{d x} y$ per $x$ .

$x y + x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y$

Passaggio 1.1.2.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $\frac{d y}{d x} y$ da $\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $\frac{d y}{d x} y$ da $\frac{d y}{d x} y$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Passaggio 1.1.3.2

Scomponi $\frac{d y}{d x} y$ da $\frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $\frac{d y}{d x} y$ da $\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$

Passaggio 1.1.4

Dividi per $y (1 + x)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Dividi per $y (1 + x)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.2

Per scrivere $- \frac{x}{1 + x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + x) y$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{x}{1 + x}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(1 + x) y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.3.2

Riordina i fattori di $(1 + x) y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{y (1 + x)} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y - x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.5

Scomponi $x$ da $- x y - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.5.1

Scomponi $x$ da $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) - x}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.5.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) + x \cdot - 1}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.5.3

Scomponi $x$ da $x (- y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y - 1)}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.6

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1)}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1 (1))}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y + 1))}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.9.1

Riscrivi $- (y + 1)$ come $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 (y + 1))}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (- \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\frac{x}{1 + x}$ per $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{y + 1}$ nel numeratore.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Passaggio 1.4.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Passaggio 1.4.3.3

Scomponi $y$ da $(1 + x) y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.4.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.4.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{1 + x}$

Passaggio 1.4.4

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $y + 1$ da $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Passaggio 1.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Passaggio 1.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{y + 1} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi $y$ per $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Passaggio 2.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Passaggio 2.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 2.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.5

Sia $u_{1} = y + 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 2.3.2

Riordina $1$ e $x$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.3

Dividi $x$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 2.3.3.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 2.3.3.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Passaggio 2.3.3.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Passaggio 2.3.3.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 2.3.3.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola costante.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 2.3.7

Sia $u_{2} = x + 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sia $u_{2} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.7.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Passaggio 2.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Passaggio 2.3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Passaggio 2.3.11.2

Moltiplica $- - \ln (| x + 1 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Passaggio 2.3.11.2.2

Moltiplica $\ln (| x + 1 |)$ per $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$