Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{e^{3 x}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.2.1

Nega l'esponente di $e^{3 x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 3 x} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $e^{- 3 x}$ per $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 2.3.3

Sia $u = - 3 x$ . Allora $d u = - 3 d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Sia $u = - 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1

Differenzia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 2.3.3.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = - \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Passaggio 2.3.4.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - - \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ per $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + K$