Calcolo Esempi

$x (2 y + 1) d y + 2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (y^{2} + y + 2 x^{2})]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 2 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 2 x^{2}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + y + 2 x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Passaggio 2.6

Poiché $2 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1 + 0)$

Passaggio 2.7

Somma $2 y + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1)$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + 2 \cdot 1$

Passaggio 2.8.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 2 \cdot 1$

Passaggio 2.8.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 2$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x (2 y + 1)$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (2 y + 1)]$

Passaggio 3.2

Poiché $2 y + 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x (2 y + 1)$ rispetto a $x$ è $(2 y + 1) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (2 y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (2 y + 1) \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2 y + 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $4 y + 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y + 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$4 y + 2 = 2 y + 1$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$4 y + 2 = 2 y + 1$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci $4 y + 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 y + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $2 y + 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 y + 2 - (2 y + 1)}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x (2 y + 1)$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x (2 y + 1)$ a $N$ .

$\frac{4 y + 2 - (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 y + 2 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x (2 y + 1)}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4 y + 2 - 2 y - 1 \cdot 1}{x (2 y + 1)}$

Passaggio 5.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 y + 2 - 2 y - 1}{x (2 y + 1)}$

Passaggio 5.3.2.4

Sottrai $2 y$ da $4 y$ .

$\frac{2 y + 2 - 1}{x (2 y + 1)}$

Passaggio 5.3.2.5

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{2 y + 1}{x (2 y + 1)}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $2 y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y + 1}{x (2 y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Passaggio 6.1

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 6.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | x | + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$ per il fattore di integrazione $x$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ per $x$ .

$2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 y^{2} + 2 y + 2 (2 x^{2})) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(2 y^{2} + 2 y + 4 x^{2}) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{2} x) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.1

Sposta $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 (x \cdot x^{2})) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 7.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 (x^{1} x^{2})) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Passaggio 7.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{1 + 2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Passaggio 7.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Passaggio 7.6

Moltiplica $x (2 y + 1)$ per $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x (2 y + 1) x d y = 0$

Passaggio 7.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.7.1

Sposta $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x \cdot x (2 y + 1) d y = 0$

Passaggio 7.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x^{2} (2 y + 1) d y = 0$

Passaggio 7.8

Applica la proprietà distributiva.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot 1) d y = 0$

Passaggio 7.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (2 x^{2} y + x^{2} \cdot 1) d y = 0$

Passaggio 7.10

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (2 x^{2} y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y + x^{2} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = 2 x^{2} y + x^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y + \int x^{2} d y$

Passaggio 9.2

Poiché $2 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2 x^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y + \int x^{2} d y$

Passaggio 9.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y$

Passaggio 9.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C$

Passaggio 9.5

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C$

Passaggio 9.6

Semplifica.

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Passaggio 12.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Passaggio 12.4

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Passaggio 12.4.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} x + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Passaggio 12.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y^{2} x + y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Passaggio 12.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$2 y^{2} x + 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Passaggio 12.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x + 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Passaggio 12.6

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x + 2 x y = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sottrai $2 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x - 2 x y$

Passaggio 13.1.3

Combina i termini opposti in $2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x - 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Sottrai $2 y^{2} x$ da $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 4 x^{3} + 0 - 2 x y$

Passaggio 13.1.3.2

Somma $2 y x + 4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 4 x^{3} - 2 x y$

Passaggio 13.1.3.3

Riordina i fattori nei termini di $2 y x$ e $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + 4 x^{3} - 2 x y$

Passaggio 13.1.3.4

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

Passaggio 13.1.3.5

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $4 x^{3}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

Passaggio 14.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

Passaggio 14.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Passaggio 14.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ come $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Passaggio 14.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.1

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Passaggio 14.5.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Passaggio 14.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = 1 x^{4} + C$

Passaggio 14.5.2.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$g (x) = x^{4} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + x^{4} + C$