Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $2 y + 1$ .

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = (2 y + 1) \frac{1}{2 y + 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $2 y + 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = (2 y + 1) \frac{1}{2 y + 1}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(2 y + 1) d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 2 y + 1 d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 y d y + \int d y = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int y d y + \int d y = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

$y^{2} + y + C_{3} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$y^{2} + y + C_{3} = x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y^{2} + y = x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + y - x = K$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + y - x - K = 0$

Passaggio 3.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - x - K$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x - K))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x - K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x - K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

Passaggio 3.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 K + 4 x + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 K + 4 x + 1}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{K + 4 x + 1}}{2}$