Calcolo Esempi

$y^{2} d y = x^{5} d x$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 1.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int x^{5} d x$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{5} d x$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$

Passaggio 1.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{6} x^{6} + K$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

Passaggio 2.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{6}}{6} + K)$

Passaggio 2.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{6}}{6} + 3 K$

Passaggio 2.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.2.2.1.3.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{6}}{3 (2)} + 3 K$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = 3 \frac{x^{6}}{3 \cdot 2} + 3 K$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = \frac{x^{6}}{2} + 3 K$

Passaggio 2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + 3 K}$

Passaggio 2.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + 3 K}$ .

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Passaggio 2.4.1

Per scrivere $3 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + 3 K \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 2.4.2

$3 K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + \frac{3 K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 3 K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 K}{2}}$

Passaggio 2.4.5

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 K}{2}}$ come $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 2.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.4.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 2.4.7.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 2.4.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Passaggio 2.4.7.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Passaggio 2.4.7.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

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Passaggio 2.4.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 2.4.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 2.4.7.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 2.4.7.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.4.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 2.4.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Passaggio 2.4.7.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 2.4.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.8.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Passaggio 2.4.8.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} \sqrt[3]{4}}{2}$

Passaggio 2.4.9

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.4.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 K) \cdot 4}}{2}$

Passaggio 2.4.9.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 K) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{6} + 6 K)}}{2}$

Passaggio 3

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{6} + K)}}{2}$