Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + y = \sqrt{x}$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $x y$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Passaggio 1.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \sqrt{x}$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \sqrt{x} d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$x y = \int \sqrt{x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

Sposta $x^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.3.1.2.1

Sposta $x^{- 1}$ .

$y = \frac{2}{3} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.6.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.3

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C}{x}$