Calcolo Esempi

$(x \sin (x) + 1) d y + (y \sin (x) + x y \cos (x)) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$(y \sin (x) + x y \cos (x)) d x + (x \sin (x) + 1) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y \sin (x) + x y \cos (x)$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x) + x y \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y \sin (x) + x y \cos (x)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $\sin (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y \sin (x)$ rispetto a $y$ è $\sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $x \cos (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y \cos (x)$ rispetto a $y$ è $x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x)$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cos (x) + \sin (x)$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \sin (x) + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $x \cos (x) + \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x)$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $x \cos (x) + \sin (x)$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $x \cos (x) + \sin (x)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Passaggio 4.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$ è un'identità.

Passaggio 5

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) + 1 d y$

Passaggio 6

Integra $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 6.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Passaggio 7

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$

Passaggio 8

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 9.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y + g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(x \sin (x) + 1) y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.3

Calcola $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y]$ .

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Passaggio 9.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $(x \sin (x) + 1) y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \sin (x) + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.3.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.3.8

Somma $x \cos (x) + \sin (x)$ e $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.5

Semplifica.

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Passaggio 9.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 9.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Passaggio 10

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 10.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 10.1.1

Sottrai $x y \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x)$

Passaggio 10.1.2

Sottrai $y \sin (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Passaggio 10.1.3

Combina i termini opposti in $y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

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Passaggio 10.1.3.1

Sottrai $x y \cos (x)$ da $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Passaggio 10.1.3.2

Somma $y \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - y \sin (x)$

Passaggio 10.1.3.3

Sottrai $y \sin (x)$ da $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 11

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 11.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 11.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 11.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 11.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 12

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Passaggio 13

Semplifica $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$ .

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Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 y + C$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$

Passaggio 13.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + y + C$