Calcolo Esempi

$(y^{2} + 1) d x = (1 + x y) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $(1 + x y) d y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Passaggio 2.5

Somma $2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (1 + x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x y)]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (1 + x y)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [1 + x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x y]$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.6

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = - y$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 y = - y$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y - (2 y)}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $y^{2} + 1$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $y^{2} + 1$ a $M$ .

$\frac{- y - (2 y)}{y^{2} + 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y$ da $- y - 1 \cdot 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{y \cdot - 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2} + 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 1 - 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y (- 1 - 2)}{y^{2} + 1}$

Passaggio 5.3.2.3

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{y \cdot - 3}{y^{2} + 1}$

Passaggio 5.3.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{- 3 \cdot y}{y^{2} + 1}$

Passaggio 5.3.4

Sostituisci $y^{2} + 1$ a $M$ .

$- \frac{3 y}{y^{2} + 1}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Passaggio 6.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y}$

Passaggio 6.4

Sia $u = y^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sia $u = y^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Differenzia $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Passaggio 6.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 6.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 6.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 y + 0$

Passaggio 6.4.1.5

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Passaggio 6.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Passaggio 6.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Passaggio 6.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 6.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 6.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 6.9

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

Passaggio 6.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)} + C$

Passaggio 6.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.1

Moltiplica $- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.1.1

Riordina $\ln (| y^{2} + 1 |)$ e $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))} + C$

Passaggio 6.11.1.2

Semplifica $\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ spostando $\frac{3}{2}$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Passaggio 6.11.2

Semplifica $- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Passaggio 6.11.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Passaggio 6.11.4

Moltiplica gli esponenti in ${({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Passaggio 6.11.4.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.4.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Passaggio 6.11.4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Passaggio 6.11.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.11.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $y^{2} + 1$ per $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $y^{2} + 1$ per $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y^{2} + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 7.3

Sottrai l'esponente del denominatore dall'esponente del numeratore per la stessa base.

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3}{2} \cdot - 1} d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 7.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3 \cdot - 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{- 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 7.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(y^{2} + 1)}^{1 - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 7.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 7.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 7.7

Sottrai $3$ da $2$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 7.9

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Passaggio 7.10

Moltiplica $- (1 + x y)$ per $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.11

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.13

Moltiplica $- 1 - x y$ per $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.14

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.15

Scomponi $- 1$ da $- x y$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.16

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (x y)$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + C$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.10

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.12.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.12.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.14

Somma $2 y$ e $0$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.15

$\frac{1}{2}$ e ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.16

$2$ e $\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.17

$\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.18

Sposta ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.19

Elimina il fattore comune.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.20

Riscrivi l'espressione.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.21

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$x (- \frac{y {(y^{2} + 1)}^{- 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.22

Sposta ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.23

Moltiplica ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $y^{2} + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.23.1

Moltiplica ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.23.1.1

Eleva $y^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.23.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.23.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.23.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.23.4

Somma $1$ e $2$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.24

$x$ e $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Somma $\frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x y + 1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3

Combina i termini opposti in $- x y + 1 + x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.1

Somma $- x y$ e $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $- \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Passaggio 14.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Passaggio 14.4

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(y^{2} + 1)}^{3}}} d y$

Passaggio 14.5

Sia $y = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d y = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 14.6

Semplifica $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Applica l'identità pitagorica.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 14.6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 14.6.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 14.6.3

Riscrivi $\sec^{6} (t)$ come ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 14.6.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 14.7

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.1

Scomponi $\sec^{2} (t)$ da $\sec^{3} (t)$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 14.7.2

Elimina il fattore comune.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 14.7.3

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Passaggio 14.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.8.1

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$g (y) = - \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Passaggio 14.8.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$g (y) = - \int 1 \cos (t) d t$

Passaggio 14.8.3

Moltiplica $\cos (t)$ per $1$ .

$g (y) = - \int \cos (t) d t$

Passaggio 14.9

L'integrale di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $\sin (t)$ .

$g (y) = - (\sin (t) + C)$

Passaggio 14.10

Semplifica.

$g (y) = - \sin (t) + C$

Passaggio 14.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (y)$ .

$g (y) = - \sin (\arctan (y)) + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$

Passaggio 16

Semplifica $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, y)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (y)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, y)$ . Perciò, $\sin (\arctan (y))$ è $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Passaggio 16.1.2

Moltiplica $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}) + C$

Passaggio 16.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.3.1

Moltiplica $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Passaggio 16.1.3.2

Eleva $\sqrt{1 + y^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Passaggio 16.1.3.3

Eleva $\sqrt{1 + y^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + y^{2}}}^{1}} + C$

Passaggio 16.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1 + 1}} + C$

Passaggio 16.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}} + C$

Passaggio 16.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}$ come $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + y^{2}}$ come ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Passaggio 16.1.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Passaggio 16.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Passaggio 16.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Passaggio 16.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{1}} + C$

Passaggio 16.1.3.6.5

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} + C$

Passaggio 16.2

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Passaggio 16.3

Per scrivere $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Passaggio 16.4

Per scrivere $- \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Moltiplica $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5.2

Moltiplica ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $y^{2} + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.2.1

Moltiplica ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.2.1.1

Eleva $y^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5.3

Moltiplica $\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ per $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5.4

Moltiplica $y^{2} + 1$ per ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.4.1

Moltiplica $y^{2} + 1$ per ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.4.1.1

Eleva $y^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

Passaggio 16.5.4.4

Somma $2$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + y^{2}}$ come ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x \cdot 1 - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.4

Moltiplica $- y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1.4.1

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.4.2

Moltiplica ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1.4.2.1

Sposta ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.4.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.4.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.4.3

Semplifica $- y {(y^{2} + 1)}^{1}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y \cdot y^{2} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.6

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1.6.1

Sposta $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.6.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1.6.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y^{1}) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{2 + 1} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.8

Riscrivi $x y^{2} + x - y^{3} - y$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1.8.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1.8.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f (x, y) = \frac{(x y^{2} + x) - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.8.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.1.8.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $y^{2} + 1$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{2} + 1) (x - y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.2

Sposta ${(y^{2} + 1)}^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- 1}} + C$

Passaggio 16.7.3

Moltiplica ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ per ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

Passaggio 16.7.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

Passaggio 16.7.3.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$