Calcolo Esempi

$(y + 1) d x - x d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(y + 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x d y = - (y + 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y + 1)} (- x) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x (y + 1)}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x (y + 1)}$ nel numeratore.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $y + 1$ da $x (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Sia $u = y + 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sia $u = y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 4.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 4.2.2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Sottrai $\ln (| x |)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ .

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi $\ln (| y + 1 |)$ per $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Dividi $\ln (| x |)$ per $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x |)$

Passaggio 5.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x |) = - C$

Passaggio 5.5

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$

Passaggio 5.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |})} = e^{- C}$

Passaggio 5.7

Riscrivi $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x |}$

Passaggio 5.8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica ogni lato per $| x |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Passaggio 5.8.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Passaggio 5.8.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y + 1 | = e^{- C} | x |$

Passaggio 5.8.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1

Riordina i fattori in $e^{- C} | x |$ .

$| y + 1 | = | x | e^{- C}$

Passaggio 5.8.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x | e^{- C}$

Passaggio 5.8.4.3

Riordina i fattori in $\pm | x | e^{- C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- C} | x |$

Passaggio 5.8.4.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{- C} | x | - 1$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm C | x | - 1$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C | x | - 1$