Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x^{2}}$ , $y (1) = \frac{π}{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\arctan (x) + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + C_{1} = 4 \arctan (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 4 \arctan (x) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $\frac{π}{2}$ in $y = 4 \arctan (x) + K$ .

$\frac{π}{2} = 4 \arctan (1) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$ .

$4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$π + K = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $π$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = \frac{π}{2} - π$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $- π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.3.3

$- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$K = \frac{π - 2 π}{2}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $2 π$ da $π$ .

$K = \frac{- π}{2}$

Passaggio 4.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$K = - \frac{π}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{π}{2}$ a $K$ in $y = 4 \arctan (x) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- \frac{π}{2}$ a $K$ .

$y = 4 \arctan (x) - \frac{π}{2}$