Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 8 e^{- 5 x} - x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (8 e^{- 5 x} - x^{2}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 8 e^{- 5 x} - x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 8 e^{- 5 x} - x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 8 e^{- 5 x} d x + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 8 \int e^{- 5 x} d x + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.3

Sia $u = - 5 x$ . Allora $d u = - 5 d x$ , quindi $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Sia $u = - 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1

Differenzia $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.3.3.1.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 5$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 8 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = 8 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.4.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = 8 \int - \frac{e^{u}}{5} d u + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 8 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u) + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{e^{u}}{5} d u + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u) + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

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Passaggio 2.3.8.1

$\frac{1}{5}$ e $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{- 8}{5} \int e^{u} d u + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} \int e^{u} d u + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) - \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Passaggio 2.3.12

Semplifica.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} e^{u} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{8}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{3} x^{3} + K$