Calcolo Esempi

$\frac{d t}{d u} = \frac{t u + u + 3 t + 3}{t u + 2 u - t - 2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t u + u) + 3 t + 3}{t u + 2 u - t - 2}$

Passaggio 1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{d t}{d u} = \frac{u (t + 1) + 3 (t + 1)}{t u + 2 u - t - 2}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $t + 1$ .

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{t u + 2 u - t - 2}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t u + 2 u) - t - 2}$

Passaggio 1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{u (t + 2) - (t + 2)}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $t + 2$ .

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t + 2) (u - 1)}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d t}{d u} = \frac{t + 1}{t + 2} \cdot \frac{u + 3}{u - 1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{t + 2}{t + 1}$ .

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{t + 2}{t + 1} (\frac{t + 1}{t + 2} \cdot \frac{u + 3}{u - 1})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{t + 1}{t + 2}$ per $\frac{u + 3}{u - 1}$ .

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{t + 2}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t + 2) (u - 1)}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $t + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{t + 2}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t + 2) (u - 1)}$

Passaggio 1.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{u - 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $t + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{u - 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{u + 3}{u - 1}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{t + 2}{t + 1} d t = \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{t + 2}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi $t + 2$ per $t + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$t$

$1$

$t$

$2$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $t$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t$ .

					$1$
	$t$	+	$1$		$t$	+	$2$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$2$
			+	$t$	+	$1$

Passaggio 2.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $t + 1$

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$2$
			-	$t$	-	$1$

Passaggio 2.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$2$
			-	$t$	-	$1$
					+	$1$

Passaggio 2.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 + \frac{1}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d t + \int \frac{1}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$t + C_{1} + \int \frac{1}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Passaggio 2.2.4

Sia $u_{1} = t + 1$ . Allora $d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Sia $u_{1} = t + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Differenzia $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Passaggio 2.2.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 2.2.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 2.2.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$t + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$t + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$t + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t + 1$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi $u + 3$ per $u - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$u$

$1$

$u$

$3$

Passaggio 2.3.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $u$ per il termine di ordine più alto nel divisore $u$ .

					$1$
	$u$	-	$1$		$u$	+	$3$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$u$	-	$1$		$u$	+	$3$
			+	$u$	-	$1$

Passaggio 2.3.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $u - 1$

				$1$
$u$	-	$1$		$u$	+	$3$
			-	$u$	+	$1$

Passaggio 2.3.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$u$	-	$1$		$u$	+	$3$
			-	$u$	+	$1$
					+	$4$

Passaggio 2.3.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{4}{u - 1} d u$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = \int d u + \int \frac{4}{u - 1} d u$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + \int \frac{4}{u - 1} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $u$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + 4 \int \frac{1}{u - 1} d u$

Passaggio 2.3.5

Sia $u_{2} = u - 1$ . Allora $d u_{2} = d u$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Sia $u_{2} = u - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $u - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u - 1]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u - 1$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [- 1]$

Passaggio 2.3.5.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $u$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + 4 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + 4 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + 4 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $u - 1$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + 4 \ln (| u - 1 |) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$t + \ln (| t + 1 |) = u + 4 \ln (| u - 1 |) + C$