Calcolo Esempi

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y = \ln (t)$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $(t + 1) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t + 1$ e $g (t) = y$ .

$(t + 1) \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d t} [y]$ come $y'$ .

$(t + 1) y' + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t + 1) y' + y (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(t + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d t} [1])$

Passaggio 1.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$(t + 1) y' + y (1 + 0)$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $0$ .

$(t + 1) y' + y \cdot 1$

Passaggio 1.7

Sostituisci $\frac{d y}{d t}$ a $y'$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

Passaggio 1.8

Riordina $y$ e $1$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

Passaggio 1.9

Moltiplica $y$ per $1$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [(t + 1) y] = \ln (t)$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [(t + 1) y] d t = \int \ln (t) d t$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$(t + 1) y = \int \ln (t) d t$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (t)$ e $d v = 1$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

$t$ e $\frac{1}{t}$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int d t$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$(t + 1) y = \ln (t) t - (t + C)$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$

Passaggio 6

Dividi per $t + 1$ ciascun termine in $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $t + 1$ ciascun termine in $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ .

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $t + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} - \frac{t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Passaggio 6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\ln (t) t - t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Passaggio 6.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\ln (t) t - t + C}{t + 1}$

Passaggio 6.3.4

Riordina i fattori in $\ln (t) t - t + C$ .

$y = \frac{t \ln (t) - t + C}{t + 1}$