Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $x y$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Passaggio 1.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$x y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

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Passaggio 5.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$x y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x y = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$x y = - x^{- 1} + C$

Passaggio 5.3

Riscrivi $- x^{- 1} + C$ come $- \frac{1}{x} + C$ .

$x y = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 6

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = - \frac{1}{x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = - \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x \cdot x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = - \frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x}$