Calcolo Esempi

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos^{3} (x)) y = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riordina i termini.

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos^{3} (x) = 1$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $y \cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos^{3} (x)) = 1$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $\cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$

Passaggio 1.4

Dividi per $\cos^{2} (x) \sin (x)$ ciascun termine in $\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.7

Elimina il fattore comune di $\cos^{3} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi $\cos^{2} (x)$ da $\cos^{3} (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Scomponi $\cos^{2} (x)$ da $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) (\sin (x))} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x) y}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.8

Scomponi $y$ da $\frac{\cos (x) y}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.9

Riordina $y$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\sin (x)$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riordina $\sin (x)$ e $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi $\sin (x) (\cot (x) y)$ in termini di seno e coseno.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2.3

Elimina i fattori comuni.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 3.6

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.7

Riordina i fattori in $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sec^{2} (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sec^{2} (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\sin (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$\sin (x) y = \tan (x) + C$

Passaggio 8

Dividi per $\sin (x)$ ciascun termine in $\sin (x) y = \tan (x) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $\sin (x)$ ciascun termine in $\sin (x) y = \tan (x) + C$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.1.2

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ come un prodotto.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.1.3

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.2.2

Frazioni separate.

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.2.3

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Passaggio 8.3.2.4

Dividi $C$ per $1$ .

$y = \sec (x) + C \csc (x)$