Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \cos (2 x)$ , $y (\frac{π}{2}) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \cos (2 x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (u) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (2 x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $\frac{π}{2}$ e $y$ con $3$ in $y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + K$ .

$3 = \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π}{2}) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2})) + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2})) + K = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2})) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \frac{π}{2}) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \sin (π) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{2} \cdot \sin (0) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$0 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 3$

Passaggio 5

Sostituisci $3$ a $K$ in $y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $3$ a $K$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + 3$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{\sin (2 x)}{2} + 3$