Calcolo Esempi

$y'''' = 2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ e $y (0) = 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $e^{- 6 y}$ da $2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $e^{- 6 y}$ da $2 t e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) - e^{- 6 y}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $e^{- 6 y}$ da $- e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $e^{- 6 y}$ da $e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t - 1)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- 6 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $e^{- 6 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = 2 t - 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} d y = (2 t - 1) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- 6 y}} d y = \int 2 t - 1 d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{- 6 y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{- 6 y})}^{- 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- 6 y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 6 y \cdot - 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$\int 1 e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{6 y}$ per $1$ .

$\int e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = 6 y$ . Allora $d u = 6 d y$ , quindi $\frac{1}{6} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = 6 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $6 y$ .

$\frac{d}{d y} [6 y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $6 y$ rispetto a $y$ è $6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Passaggio 2.2.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{e^{u}}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int e^{u} d u = \int 2 t - 1 d t$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 t - 1 d t$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\frac{1}{6} e^{u} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 y$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t d t + \int - 1 d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 \int t d t + \int - 1 d t$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - 1 d t$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = t^{2} - t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} = t^{2} - t + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y}) = 6 (t^{2} - t + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $6 (\frac{1}{6} e^{6 y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ e $e^{6 y}$ .

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{6 y} = 6 (t^{2} - t + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $6 (t^{2} - t + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{6 y} = 6 t^{2} + 6 (- t) + 6 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$e^{6 y} = 6 t^{2} - 6 t + 6 K$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{6 y}) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{6 y})$ spostando $6 y$ fuori dal logaritmo.

$6 y \ln (e) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$6 y \cdot 1 = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Passaggio 3.5

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $0$ e $y$ con $2$ in $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$

Passaggio 6.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Passaggio 6.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Passaggio 6.3.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Passaggio 6.3.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\ln (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Moltiplica $6$ per $0$ .

$\ln (0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Passaggio 6.3.1.1.2.3

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$\ln (0 + 0 + K) = 6 \cdot 2$

Passaggio 6.3.1.1.3

Combina i termini opposti in $0 + 0 + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$\ln (0 + K) = 6 \cdot 2$

Passaggio 6.3.1.1.3.2

Somma $0$ e $K$ .

$\ln (K) = 6 \cdot 2$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\ln (K) = 12$

Passaggio 6.4

Per risolvere per $K$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (K)} = e^{12}$

Passaggio 6.5

Riscrivi $\ln (K) = 12$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{12} = K$

Passaggio 6.6

Riscrivi l'equazione come $K = e^{12}$ .

$K = e^{12}$

Passaggio 7

Sostituisci $e^{12}$ a $K$ in $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $e^{12}$ a $K$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$

Passaggio 7.2

Riscrivi $\frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$ come $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ .

$y = \frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ spostando $\frac{1}{6}$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln ({(6 t^{2} - 6 t + e^{12})}^{\frac{1}{6}})$