Calcolo Esempi

$\frac{d c}{d y} = \frac{1}{\sqrt{2 y + 16}} + 0.6$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d c = (\frac{1}{\sqrt{2 y + 16}} + 0.6) d y$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d c = \int \frac{1}{\sqrt{2 y + 16}} + 0.6 d y$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$c + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{2 y + 16}} + 0.6 d y$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$c + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{2 y + 16}} d y + \int 0.6 d y$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 2 y + 16$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 2 y + 16$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $2 y + 16$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 16]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y + 16$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [16]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [16]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [16]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [16]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [16]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $16$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$c + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int 0.6 d y$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$c + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u + \int 0.6 d y$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$c + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u + \int 0.6 d y$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int 0.6 d y$

Passaggio 2.3.5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int 0.6 d y$

Passaggio 2.3.5.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int 0.6 d y$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int 0.6 d y$

Passaggio 2.3.5.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int 0.6 d y$

Passaggio 2.3.5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int 0.6 d y$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 0.6 d y$

Passaggio 2.3.7

Applica la regola costante.

$c + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 0.6 y + C_{3}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$c + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + 0.6 y + C_{4}$

Passaggio 2.3.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y + 16$ .

$c + C_{1} = {(2 y + 16)}^{\frac{1}{2}} + 0.6 y + C_{4}$

Passaggio 2.3.10

Riordina i termini.

$c + C_{1} = 0.6 y + {(2 y + 16)}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$c = 0.6 y + {(2 y + 16)}^{\frac{1}{2}} + K$